【家族サービス】は英語で「ファミリーサービス」では通じません。

「家族サービス」は英語で【spend time with one’s family】
英語では、意味をかみ砕いて「家族と時間を過ごす」と言うのが一番自然です。
そもそも家族との時間を大切にするのが一般的な海外ではわざわざ「家族サービス」なんて言わなくてもいいのかもしれませんね。
「いつもは忙しいので、連休のときは家族サービスする予定です」と英語で言いたければ[I’m usually busy so I’m going to spend some time with my family for the long holidays.]と言えばOKです。
最近家族で出かけていない方は、次の休日や連休は家族サービスしてみてはいかがでしょう?
最後に家族の英語【主婦(主夫)は英語で?】も一緒にチェックしてみて下さい。